[2016년 운정고]

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[2학년 2학기 기말 미적분2]

[eqn: 0<x< pi over 2]에서 [eqn: f(x`)`=` cos2x]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: 1over {g'{left( 1over2right)}}]의 값은?

①

① [eqn: -root3]	② [eqn: -root2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: root3]

[eqn: 0<x< pi over 2]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(cosx)= sin2x - tanx]를 만족시킬 때, [eqn: f` prime LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT )]의 값은?

③

① [eqn: 1over3]	② [eqn: root3 over3]	③ [eqn: 2over3]

④ [eqn: root3]	⑤ [eqn: 2root3]

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분 가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (1,```a)]에서의 접선의 기울기를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: ln{a+1 overb}]의 값은?

(가) [eqn: y`=` f(x)] 위의 점 [eqn: (2,```1)]에서의 접선의

기울기는 [eqn: 1]이다.

(나) 함수 [eqn: f(2x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 한다.

④

① [eqn: ln 1over4]	② [eqn: ln 1over2]	③ [eqn: ln2]

④ [eqn: 2ln2]	⑤ [eqn: 3ln2]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: e ^{f(x)} = sum _{k=0} ^{n} e ^{kx}]일 때, [eqn: f`'(0)=10]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은?

③

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

구간 [eqn: (ln2,``` INF )]의 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식
[eqn: {4} over {e ^{x} +2} +a ln2 GEQ ax+1]
가 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은?

②

① [eqn: - 1over4]	② [eqn: - 1over2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1over4]

함수 [eqn: f(x)`=` ln|2x|]와 열린구간 [eqn: (0,``` pi )]에서 정의된 함수
[eqn: g(x)`=`cosx]에 대하여 [eqn: lim _{ x-> pi over3} {{f(g(x))}over{x- pi over3} }]의 값은?

①

① [eqn: -root3]	② [eqn: - root3 over3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: root3 over3]	⑤ [eqn: root3]

[eqn: 0]이 아닌 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=ax-ln(x ^{2} +3)]이 실수 전체의 집합에서 증가 할 때, 상수 [eqn: a]의 최솟값은?

③

① [eqn: root3 over5]	② [eqn: root3over4]	③ [eqn: root3 over3]

④ [eqn: root2 over4]	⑤ [eqn: root2 over3]

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수
[eqn: f(x)= e^x+1 left{x^2 +(n-2)x-n+3 right} + (a-1)x]
가 역함수를 갖도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: g(n)]이라 하자. [eqn: sum_n=2^10{g(n)}]의 값은?

④

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

함수 [eqn: f(x)= x over {x^2 +1}]의 변곡점의 [eqn: x]값을 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]라 할 때,
[eqn: |`alpha`|+|`beta`|+|`gamma`|]의 값은?

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 2root2]	③ [eqn: 2root3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 2root5]

함수 [eqn: f` prime (x)=cos sqrt {x}]이고 [eqn: f left(pi^2 over9 right) = root3 over3 pi]일 때, [eqn: f left(pi^2 over4 right)]의 값은?

②

① [eqn: pi-2]	② [eqn: pi-1]	③ [eqn: pi]

④ [eqn: pi+1]	⑤ [eqn: pi+2]

[eqn: 0<x<pi]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

이 때, [eqn: f left(5over6 pi right)]의 값은?

(가) [eqn: f` prime (x)=4x sin2x]

(나) 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: pi over2]이다.

①

① [eqn: - 4over3 pi - root3 over2]	② [eqn: - 1over3 pi - root3 over2]	③ [eqn: 1over3 pi - root3 over2]

④ [eqn: - 4over3 pi +root3over2]	⑤ [eqn: - 1over3 pi + root3 over2]

다음 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]의 값 사이에 대소 관계를 바르게 나타낸 것은?

⑤

[eqn: A`=` lim _{ x->3} { {1}over{x-3}int_3^x{ln|t^2 -2t|}}dt]

[eqn: B`=` int_0^ln3{{e^x}over{e^x +e^-x}}dx]

[eqn: C`=` lim _{ n->inf} {left(1overn+1 + 1overn+2 +``` CDOTS ```+ 1over2n right)}]

① [eqn: A<B<C]	② [eqn: A<C<B]	③ [eqn: B<C<A]

④ [eqn: C<A<B]	⑤ [eqn: C<B<A]

함수 [eqn: f(x)= 4xe^2x]에 대하여
[eqn: int_1^5{f(x)dx} - int _ln3^5{f(x)}dx +int_0^1 {f(1-x)dx}]
의 값은?

①

① [eqn: 2(9ln3 -4)]	② [eqn: 9(2ln3-1)]	③ [eqn: 18ln3]

④ [eqn: 2(9ln3+4)]	⑤ [eqn: 9(2ln3+1)]

실수 전체 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= 1over {x^2 +4}]에 대하여 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

가. [eqn: -2<x<0]일 때, [eqn: f`'(x)>0]

나. [eqn: int_-2^2{f(x)dx}= pi over4]

다. [eqn: int_-2^2{x|f`'(x)|}dx= 0]

① 가	② 가, 나	③ 가, 다

④ 나, 다	⑤ 가, 나, 다

반지름의 길이가  [eqn: 9rmcm]인 반구 모양의 수박을 [eqn: 13500]원에 파는 과일 가게에서, 수박을 잘라 부피에 정비례하여 가격을 정하려고 한다. 밑면에 수직이고 중심으로부터 [eqn: 3rmcm] 만큼 떨어진 평면으로 자를 때, 생기는 작은 조각의 가격은?

④

① [eqn: 2750]원	② [eqn: 3000]원	③ [eqn: 3250]원

④ [eqn: 3500]원	⑤ [eqn: 3750]원

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

곡선 [eqn: y= f(x)]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=-1], [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 4]일 때, 곡선 [eqn: y= xf`'(x)]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=-1], [eqn: x=`1]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)]

(나) 열린구간 [eqn: (0,```1)]에서 [eqn: f(x)]는 증가하고

[eqn: f(0)ge0], [eqn: f(1)=5]이다.

(다) [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f `prime (x)]는 연속이다.

②

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

서술형

[eqn: [0,``` INF )]에서 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} +1]의 변곡점 [eqn: (t,```f(t))]를 구하고, 이 점에서의 접선과 [eqn: y]절편을 구하는 과정과 정답을 서술하시오.

[eqn: (1,```-1)], [eqn: y=-3x+2], [eqn: 2]

두 함수 [eqn: f(x)= e^x], [eqn: g(x)= ax^2 +2x-2]에 대하여 [eqn: x ge0]에서
[eqn: f(x) ge g(x)]가 성립하도록 하는 실구 [eqn: a]의 최댓값을 구하는 과정과 정답을 서술하시오.

[eqn: { e^2 -2} over { 4}]

실수 전체의 집합에서 미분 가능하고, 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: int_0^2{f(x)dx}]의 최솟값을 구하는 과정과 정답을 서술하시오.

[eqn: 5e]

(가) [eqn: f(0)=2], [eqn: f` prime (0)=3]

(나) [eqn: 0<a<b<2]이면 [eqn: f` prime (a) LEQ f `prime (b)]이다.

(다) 구간 [eqn: (0,```1)]에서 [eqn: f`''(x)= 2e^x]이다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: int {f(x)} dx = xf(x)-2x^2 e^2x], [eqn: f(0)= 1]
을 만족시킬 때, 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 과정과 정답을 서술하시오.

[eqn: 1over2e]

[2016년 운정고]

[2학년 2학기 기말 미적분2]

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